Maths

KARMAŞIK SAYILAR I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ Tanım  sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve  ile gösterilir. Uyarı a, b pozitif gerçel sayı ve x, y negatif gerçel sayı olmak üzere, A. i NİN KUVVETLERİ        olmak üzere, i0 = 1 dir. i1 = i dir. i2 = –1 dir. i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir. i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir. i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir. Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır. Sonuç Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde, kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1, kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i, kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1, kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir. Buna göre, n tam sayı olmak üzere, i4n= 1, i4n+1 = i, i4n+2 = –1, i4n+3 = –i dir. Tanım a ve b birer reel (gerçel) sayı ve  olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi  ile gösterilir. Buna göre, z = a + bi karmaşık sayısında; a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı, b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir. z = a + bi ise Re(z) = a İm(z) = b şeklinde gösterilir. Uyarı Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,  dir. B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir. Kural C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi, Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir. Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz. Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir. z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır. D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ  ve  i2 = –1 olmak üzere, a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir. z karmaşık sayısının eşleniği  ile gösterilir. Buna göre,        Kural Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,        Kural Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır. E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir. z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir. Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de, dir. F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER 1. Toplama İşlemi Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre, i2 = –1 olmak üzere,        karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,        2. Çıkarma İşlemi       z + (–w) = z – w olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre, z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre, i2 = –1 olmak üzere,        karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda        3. Çarpma İşlemi Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır. z = a + bi ve w = c + di  olsun. Buna göre, Sonuç i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,        Kural i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere, 4. Bölme İşlemi z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve  biçiminde gösterilir. Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani, z1 = a + bi ve z2 = c + di ise, 5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere, G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK z = a + bi ve w = c + di  olsun.       |z – w| ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.        z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre, Kural z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla       |z – w| = r eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.       |z – w| < r eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir. II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.        z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve       arg(z) ile gösterilir.  olsun. Bu durumda,  şeklinde gösterilir.  Açının esas ölçüsü olan değere de  esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir. Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,        yazılır. Buradan, Sonuç i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,       z = |z| × (cosq + isinq) biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir. z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir. Tanım i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir. Kural        olmak üzere,        Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,        Kural        olmak üzere,        Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,        Kural Sonuç Sonuç        Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2p – a dır. Kural z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun. arg(z – z0) = q koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.        A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,       v = z × (cosa + isina) biçiminde de ifade edilebilir. Uyarı Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir. B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ  olmak üzere, zn = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.        Sonuç z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir. Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise, z1 = –z2 dir. Kural zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, ... , (n – 1) yazılarak bulunur. I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 2y = 24 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4) Buraya kadar anlatılan bilgiler 6a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir. A. ÜSTEL FONKSİYONLAR  olmak üzere,        biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir. a > 0 olduğundan f(x) = ax > 0 olur. B. LOGARİTMA FONKSİYONU  olmak üzere,        biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.        şeklinde gösterilir. Buna göre,        dir. y = logax ifadesinde  sayısına  sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur. C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ Kural 1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre, Kural Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre, Kural Kural Kural Kural D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU f(x) = logax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.        1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir. 1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir. Kural   x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.   0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir. E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU f(x) = logax fonksiyonunda taban ℓ = 2,718281828459045235360287471352... alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,        İşlemlerde genellikle logex yerine lnx ifadesi kullanılır. II. LOGARİTMALI DENKLEMLER Özellik a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,  logaf(x) = b ise f(x) = ab dir.  logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir. Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz. Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır. III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER Kural logaf(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.

PERMÜTASYON VE OLASILIK PERMÜTASYON AMAÇ  Permütasyonla ilgili temel kavramları kullanabilme becerisi Olasılık Amaç Olasılık ve olasılıkla ilgili temel kavramlar bilgisi Planlama Permütasyon ve olasılık kavramı 1)Permütasyon A)Genel çarpma özelliği B) Permütasyon 1) ”n” elemanlı bir kümenin n’li permütasyonu 2) “n”elemanlı bir kümenin r’li permütasyonu 3)Dairesel permütasyon 2)Olasılık: A)Olay ve olasılık tanımı B)Ayrık iki olayın olasılığı (A veya B’nin olasılığı) C)Aynı zamanda geçekleşen bağımsız iki olayın olasılığı(A ve B’nin olasılığı) İşleniş Permütasyon ( Büyük ) a) Saymanın Temel İlkesi ( Genel Çarpma Özelliği ) ÖR: Ahmet’in iki değişik pantolonu üç değişik renk gömleği vardır.Ahmet gömlek ile pantolonunu kaç değişik biçimde giyebilir. ÇÖZÜM: Ahmet’in değişik renk gömlekleri G1,G2,G3 ve pantolonları da P1,P2 olsun. Ahmet bu giysileri aşağıda gösterilen biçimlerde giyebilir. 1. Giyinme => G1 P1 2. Giyinme => G1 P2 3. Giyinme => G2 P1 4. Giyinme => G2 P2 5. Giyinme => G3 P1 6. Giyinme => G3 P2 biçiminde giyebilir. Ahmet’in giyinişi 6 değişik biçimde olmaktadır. Bunu kısaca, Gömlek Pantolon 3 tane 2 tane 3 x 2 = 6 şeklinde buluruz. Ardışık iki işlemden biri, a değişik yoldan yapılabiliyor. Bu yollardan herhangi biri kullanıldıktan sonra, ikinci bir işlem b değişik yoldan yapılabiliyorsa, ardışık iki işlem a x b değişik yoldan yapılabilir. Bu özelliğe “Saymanın Temel İlkesi “ yada “ Genel Çarpma Özelliği” denir. ÖR: A= ( 1,2,3,4,5 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir. Y O B 4 X 3 X 2 = 24 değişik çift sayı yazılabilir. ÖR: A= ( 0,2,3,4,5 } kümesinin elemanlarını kullanarak 5 ile bölünebilen kaç tane 3 basamaklı tek sayı vardır. Y O B 4 X 5 X 1 = 20 tane sayı yazılabilir. FAKTÖRİYEL n C N olmak üzere, 1.2.3. _ _ _ _ _ .n çarpımına n faktöriyel denir ve n! = n .(n-1).(n-2)._ _ _ _ _ .3.2.1 biçiminde ifade edilir. 0! = 1 1! = 1 n! = n.(n-1)! Olarak tanımlanır. ÖR: 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 15! 15.14.13! 13! 13! = 15.14 = 210 4) 8!+9! 8.7!+9.8.7! 7! (8+9. 7! 7! 7! 8+72 = 80 4!. ( n – 1 )! n! = 6 => n = ? 4! . ( n-1 )! n! = 6 => ( 4.3.2.1 ) . ( n-1)! = 6 . n! 24. ( n-1)! = 6.n. ( n-1 )! n 24. ( n-1 )! n = 4 6 . ( n-1 )! PERMÜTASYON Bir kümenin elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine bir permütasyon denir. ÖR: A = ( 1,2,3 } kümesinin permütasyonlarını yazalım. ( 1,2,3 ) ( 2,3,1 ) ( 1,3,2 ) ( 3,1,2 ) ( 2,1,3 ) ( 3,2,1 ) n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı P(n,n) şeklinde gösterilir.P(n,n) ifadesi, n’den 1’e kadar ardışık doğal sayıların çarpımıdır. Yani; P( n,n ) = n! ‘dir. ÖR: “Ahmet” kelimesinin harfleri ile, 5 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir. P ( 5,5 ) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 bulunur. “n” Elemanlı Bir kümenin “r” li Permütasyonları “n” ve “r” birer sayma sayısı ( n > r ) olmak üzere , n elemanlı bir kümenin elemanlarının r’li sıralanışına, “ n elemanlı kümenin r’li permütasyonu “ denir.ve P ( n,r ) şeklinde gösterilir. P ( n,r ) permütasyonlarının sayısı, P ( n,r ) = n! İfadesi ile bulunur. ( n-r )! Başka bir ifadeyle P ( n,r ) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n’den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılır. ÖR: 1) P ( 5,2 ) 5! 5.4.3! = 20 ( 5-2 )! 3! 2) P ( 7,3 ) 7! 7.6.5.4! = 210 ( 7-3 )! 4! 3) P ( 6,1 ) 6! 6.5! = 6 ( 6-1 )! 5! ÖR: P ( 5,3 ) = 5.4.3 = 60 P ( 6,2 ) = 6.5.4.3.2 = 720 P ( 7,4 ) = 7.6.5.4 = 840 ÖR: 5. P( n,3 ) = 2. P( n+1,3 ) eşitliğinde n’nin değeri kaçtır? ÇÖZÜM: 5.n ( n-1 ). ( n-2 ) = 2.( n+1 ) n . ( n-1 ) 5.( n-2 ) = 2 ( n+1 ) 5 n-10 = 2 n+2 5 n –2n = 2+10 3 n = 12 n = 4 Dönel (Dairesel ) Sıralama “n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin noktaları üzerinde birbirine göre farklı dizilişlerinden her birine,”dairesel permütasyon “ denir. “n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir daire üzerinde değişik biçimde dairesel permü- tasyonlarının sayısı, ( n-1 )! Tanedir. ÖR: 7 kişi, yuvarlak bir masanın etrafında kaç değişik şekilde oturabilir? ÇÖZÜM: Bir kişinin yeri sabit tutulursa; Oturuş sayısı = ( 7-1 )! = 6! 6.5.4.3.2.1 = 720 bulunur. ÖR: Bir okulda, 3 yönetici ile 5 öğretmen vardır. Yöneticiler yan yana olmak üzere, 8 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır. Oturuş biçimi kaç farklı biçimde olabilir? ÇÖZÜM: Yöneticiler bir arada olacağı için, üç yöneticiyi bir kişi gibi kabul edelim. Bu duruma göre, yuvarlak masanın etrafına 1+5 = 6 kişi oturuyormuş gibi düşünebiliriz. Ancak,3 yönetici de kendi aralarında 3! Kadar farklı biçimde otururlar. Buna göre, farklı oturuş biçimi, 3!.( 6-1 )! = 6 .120 =720 değişik biçimde olur. OLASILIK Olasılık, rastlantı yada kesin olmayan olaylarla uğraşır. Rastlantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olaylardır. Örneğin; bir parayı havaya attığımızda, yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz. . Bir deneyde çıkan sonuçların her birine “ olay “denir. Yapılan bir deneyde, elde edile- bilecek tüm çıkanların kümesine “örnek uzay”veya “ evrensel küme “ adı verilir. Büyük “E”harfi ile gösterilir. . Bir olay her zaman olabiliyorsa buna “kesin olay”; hiç gerçekleşmiyorsa buna da “imkansız olay” denir. . Bir E örnek uzayının her elemanının elde edilme olasılığı eşit ise bu E örnek uzayına “eş olumlu örnek uzay “ denir. Eş olumlu örnek uzayına ait bir A olayının olasılığı P( A ) biçimde gösterilir. A C E olayı için, P( A ) = s( A) s( E ) dir. ÖR: Bir zar atıldığında,üste gelen yüzünün asal sayı olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM: Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6 } Olay A = ( 2,3,5 } dir. A olayının olasılığı : P( A ) s( A ) 3 1 s( E ) 6 2 ÖZELLİKLER Bir olayın olasılığı, sıfır ile bir arasında bir sayıdır. 0 < P( A ) < 1 P( A ) = 0 => böyle bir olaydan söz edilemez.(İmkansız olay ) P( A ) = 1 => olasılık tamdır.( Kesin olay ) Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’e eşittir. P( A ) + P( A‘) = 1 dir. ÖR: Bir torbada,aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz, 5 mavi bilye vardır. Torbadan rasgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM: Örnek uzayın eleman sayısı, s( E ) = 3+4+5 = 12 dir. Beyaz bilye çekme olayı B olsun . Torbada 4 tane beyaz bilye olduğundan, s( B ) = 4 tür. Buna göre; P( B ) s( B ) 4 1 s( E ) 12 3 tür. ÖR: Bir çift zar, aynı anda masanın üzerine atılıyor. Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM: Evrensel kümenin eleman sayısı, s( E ) = 6 x 6 = 36 dır. Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma durumları; A = ( (1,1),( 1,2 ),( 2,1 ),( 1,4 ),( 4,1 ),( 1,6 ),( 6,1 ),( 2,3 ),( 3,2 ),( 2,5 ),( 5,2 ),( 3,4 ),( 4,3 ), ( 5,6 ),( 6,5 )} P( A ) s( A) 15 5 s(E) 36 12 dir. AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞMELERİNİN ( A VEYA B OLAYININ ) OLASILIĞI Ayrık olayların birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşittir. A n B = O => P ( A U B ) = P ( A ) + P( B ) dir. ÖR: Bir torbaya aynı büyüklükte 2 kırmızı, 3 sarı,4 mavi bilye konuluyor. Torbadan rasgele bir bilye çekilirse,çıkan bilyenin kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM: Evrensel küme, E = ( k1,k2,s1,s2,s3,m1,m2,m3,m4 }ve s( E ) = 9 dur. Kırmızı bilyeler = A = ( k1,k2 } Mavi bilyeler = B = ( m1,m2,m3,m4 } A n B = O dir. Buna göre, P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) yazılır. P ( A U B ) = 2 4 6 2 9 9 9 3 bulunur. AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMLERİNİN (A VEYA B OLAYININ ) OLASILIĞI Ayrık olmayan iki olayın birleşimlerinin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının farkına eşittir. A n B = O => , P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A n B ) dir. ÖR: Bir torbaya 1’den 9’a kadar numaralanmış aynı büyüklük ve özellikte 9 top konuyor. Torbadan rasgele bir top çekiliyor. 4’ten büyük veya tek numaralı bir topun çıkma olasılığı nedir? ÇÖZÜM:Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } s( E ) = 9 dur. Tek numaralı bilyenin çıkması olayı; A = ( 1,3,5,7,9 }, s( A ) = 5 ’tir. 4 ten büyük numaralı bilyenin çıkması olayı; B = ( 5,6,7,8,9 }, s ( B ) = 5’tir. A n B = (5,7,9 }, s ( A n B ) = 3’tür. P( A ) = 5 P ( B ) = 5 P( A n B) = 3 9 9 9 dur. Buna göre, P( A u B ) = P( A ) + P( B )- P( A n B ) = 5 + 5 - 3 9 9 9 = 7 olur. BAĞIMSIZ OLAYLARIN BİRLİKTE OLMA ( A VE B OLAYININ ) OLASILIĞI İki veya daha çok olayın gerçekleşmeleri birbirine bağlı değilse böyle olaylara “ bağımsız olaylar” denir. Bağımsız olayların birlikte olma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. P( A ve B ) = P( A n B ) = P( A ) . P( B ) dir. ÖR: Bir okulun birinci sınıfında 12 erkek ve 8 kız, ikinci sınıfında 6 erkek ve 12 kız öğrenci vardır. Her iki sınıftan da rasgele seçilen birer öğrencinin ikisinin de kız öğrenci olma olasılığı nedir? sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı A => P( A) = s( A ) 8 2 s( E ) 20 5 tir. sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı B => P( B ) = s( B) 12 2 s( E ) 18 3 tür. P( A n B ) = P( A ) . P( B ) = 2 . 2 4 5 3 15 olur...  BİNOM AÇILIMI n doğal sayı olmak üzere, eşitliklerine binom açılımı denir. sayılarına binom kat sayıları denir.  ifadelerinin her birine terim denir.  ifadesinde  kat sayı, xn–1 ile yr terimin çarpanlarıdır. Kural  (x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır.  (x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir.  (x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak, (1 + 1)n = 2n bulunur.  (x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır.  (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim:  (x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim: OLASILIK A. OLASILIK TERİMLERİ 1. Deney Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir . 2. Sonuç Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir. Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır. 3. Örnek Uzay Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir. Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir. (Örnek uzaya evrensel küme de denir.) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir. 4. Olay Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir. 5. İmkansız Olay E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.   6. Kesin Olay E örnek uzayına kesin (mutlak) olay denir. 7. Ayrık Olaylar A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun . A Ç B = Æ ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir. B. OLASILIK FONKSİYONU E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K olsun. P : K ® [0, 1] şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı adı verilir. P fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar. 1. Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir. 2. Evrensel kümenin meydana gelme olasılığı, P(E) = 1 dir. 3. İmkansız olayların meydana gelme olasılığı P(Æ) = 0 dır. 4. A Î K, B Î K ve A Ç B = Æ ise, P(A È B) = P(A) + P(B) dir. Kural E örnek uzayında herhangi iki olay A ve B; A nın tümleyeni A' olsun. P olasılık fonksiyonu olmak üzere, 1. A Ì B ise P(A) £ P(B) dir . 2. P(A') = 1 – P(A) dır. 3. P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) dir. C. EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY Sonlu bir E = {e1, e2, e3, ... , en} örnek uzayı için,       P(e1) = P(e2) = P(e3) = ... = P(en) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir . E, eş olumlu örnek uzayı ve A Î E ise A olayının olasılığı,        dır. Kural n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, bu deneyde örnek uzay 2n elemanlıdır. D. BAĞIMSIZ OLAYLAR VE BAĞIMLI OLAYLAR A ve B aynı örnek uzayına ait olaylar olsun. Bu olaylardan birinin elde edilmesi diğerinin elde edilmesini etkilemiyorsa A ve B olaylarınabağımsız olaylar denir. Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara birbirlerine bağımlıdır denir . Kural A ve B bağımsız olaylar olmak koşuluyla       P(A) ¹ 0 ve P(B) ¹ 0 ise, A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı       P(A Ç B) = P(A) × P(B) dir. A nın veya B nin gerçekleşme olasılığı       P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B) dir. E. KOŞULLU OLASILIK A ile B, E örnek uzayında iki olay olsun. P(B) > 0 olmak üzere; B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının olasılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı veya kısaca A nın B koşullu olasılığı denir ve P(A / B) şeklinde gösterilir.