Geometrie

ÇOKGENLER

1. Çokgen

Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A₁, A₂, A₃, … gibi n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgendenir.

a. İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir.

b. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir.dışbükey çokgen

c. Çokgenlerin elemanları

A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir. Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır.

• İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir.
• İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir.
• Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir.

2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı

(n – 2) . 180°

Üçgen için (3 – 2) . 180° = 180°

Dörtgen için (4 – 2) . 180° = 360°

Beşgen için (5 – 2) . 180° = 540°

b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde,

Dış açılar toplamı =360°

c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin

Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.

• n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
  (n – 2) adet üçgen elde edilebilir.

3. Düzgün Çokgenler

Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

a. şekildeki düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel çember denir.

b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.

|AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AD|=||

c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir.

[AF] // [CD], [AB] // [ED]….[AH] // [DE], [AB] // [FE]…

d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir.

e. n kenarlı düzgün bir çokgende

f. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısı

4. Düzgün Çokgenin Alanı

a.n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı

b.n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı (Bu açı aynı zamanda dış açıdır) ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı

Düzgün altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur. Bir kenarına a dersek

• DÖRTGENLERİN GENEL ÖZELLİKLERİ

1.Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

2.Bir dörtgende karşı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.

3.Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsübilinen dörtgenin alanı;ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen uzunlukları ile abiliniyor

Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde (sin 90° = 1 olduğundan)

Köşegen doğruları birbirine dik ise

4. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü bilinen içbükey dörtgenin alanı;[AC] ve [BD] köşegenleri ile köşegen doğruları arasındaki a biliniyor ise ABCD içbükey dörtgeninin alanı;

5. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin kenarları arasındaki bağıntı; ABCD dörtgeninde [AC] ^ [BD]

Köşegenleri dik olan dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı eşittir.

Köşegenleri dik içbükey dörtgenlerde de karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir. ABCD dörtgeninde

6. Dörtgenlerde köşegenlerin ayırdığı alanlar; ABE ve ADE üçgenlerinin yükseklikleri eşit olduğundan alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

7. Dörtgenlerde kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenar; ABCD dörtgeninde kenarların orta noktaları birleştirilerek oluşan KLMN dörtgeni paralelkenardır. Paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir.[KL] // [BD] // [MN] ve |KL| = |MN| = [LM] // [AC] // [KN] ve |LM| = |KN| =

• Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, kenarların orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, dikdörtgendir.

[AC] ^ [BD] ve K, L, M, N kenarların orta noktaları ise KLMN dikdörtgendir.

Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen Konu Anlatımı (Yazılı)

Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen

PARELELKENAR Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. [AB] // [DC] [AD] // [BC] |AB| = |DC| |AD| = |BC| Bir dörtgende karşılıklı kenarlar paralel ise eşit, eşit ise paralel olmak zorundadırlar. 1. Paralelkenarda karşılıklı açılar eş, komşu açılar bütünlerdir. a + b = 180° 2. Paralelkenarın Alanı a. Paralelkenarın alanı herhangi bir kenarla o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir. A(ABCD) = a . ha = b . hb b. İki kenarı ve bir açısının ölçüsü bilinen paralelkenarın alanı; A(ABCD) = a . b .sina c. Köşegen uzunlukları ve köşegenleri arasındaki açısının ölçüsü bilinen paralelkenarın alanı; 3. Paralelkenarda Köşegen Özellikleri a. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. |AE| = |EC| |DE| = |EB| b. Paralelkenarda köşegenler alanı dört eşit parçaya bölerler. c. Paralelkenarda bir kenar üzerinde alınan bir noktanın karşı köşelere birleştirilmesiyle oluşan alan tüm alanın yarısına eşittir. A(PCD) = A(APD) + A(BPC) d. Paralelkenarın içinde alınan herhangi bir P noktası köşelere birleştirildiğinde oluşan karşılıklı üçgenlerin alanları toplamı eşittir. S1 + S3 = S3 + S4 Bir ABCD paralelkenarında bir köşeyi, karşı kenarların ortanoktaları ile birleştirdiğimizde alanlar şekildeki gibibölünür. e. ABCD paralelkenarında K ve L noktaları kenarların orta noktaları olduğuna göre, E ABD üçgeninin, F de DCB üçgeninin ağırlık merkezidir. |AE| = 2|EN| |FC| = 2|NF |AE| = |EF| = |FC| [AC] köşegeni, [DK] ve [DL] doğru parçaları paralelkenarın alanını şekildeki gibi bölerler. f. Paralelkenarda komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 90° dir. E noktasından [AB] ve [DC] kenarlarına çizilen paralel AED dik üçgeninde hipotenüse ait kenarortayın uzantısıdır. [AB] // [KL] // [DC] Û |AK| = |KD| = |KE|                                 |BL| = |LC| Açıortayların kesiştikleri noktanın paralelkenarın dışında kalması durumunda |AD| = |AK| = |LB| = |BC|    g. ABCD paralelkanarının alanının taralı alana oranı; EŞKENAR DÖRTGEN 1. Eşkenar Dörtgen Dört kenarı birbirine eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.  Parelelkenar için geçerli olan bütün özellikler eşkenar dörtgen için de geçerlidir. 2. Eşkenar Dörtgenin Özellikleri a. Bütün kenar uzunlukları eşit olduğundan, alanı A(ABCD) =  a . h b. Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik keser.  sin90° = 1 olduğundan c. Eşkenar dörtgenin köşegenleri aynı zamanda açıortay doğrularıdır. ÇEMBERİN ANALİTİĞİ Çemberin Analitik İncelenmesi Analitik düzlemde aynı özellikteki noktalar birleştirilirse; bazen bir doğru bazen de bir eğri oluşur. Her doğrunun bir denklemi olduğu gibi eğrilerin de denklemi vardır. Verilen bir eğrinin üzerindeki her noktayı sağlayan bağlantıya, o eğrinin denklemi denir. Eğrilerin denklemleri ikinci ya da daha çok dereceden olabilir. Çember denklemi de x ve y’ ye göre ikinci dereceden bir denklemdir.Çemberin DenklemiDüzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine, çember denir. Çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları arasındaki bağıntıya da çemberin denklemi diyoruz. Bir çember, merkezi ve yarıçapı ile belli olduğundan, analitik düzlemde merkezi m(a,b), yarıçap uzunluğu r olan bir çemberin denklemini bulalım:Çember üzerinde bir nokta P(x,y) ise,|MP|=r dir. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden;|MP|=(x-a)2+(y-b)2=r(x-a)2+(y-b)2=r2Bu bağıntıya, merkezinin koordinatları M(a,b), yarı çapı r olan çemberin denklemi denir.Örnek: Merkezinin koordinatları; M(-2,3) ve yarıçap uzunluğu, r=5 birim olan çemberin denklemini yazınız.Çözüm:M(-2,3) = a=-2, b=3 ve r=5 brim ise,(x-y)2+(y-b)2 =r2 = (x+2)2(8y-3)2=25 bulunur.Merkezli Çemberin DenklemiBir çemberin merkezi orijinde ise, merkezin koordinatları M(0,0) dır. Yarıçap uzunluğu r, merkezi M(0,0) olan çemberin bu eğerleri, (x-a)2+(y-b)2=r2 denkleminde yerlerine yazılırsa, x2+y2=r2 denklemi elde edilir. Bu denkleme, yarıçap uzunluğu r olan merkezil çemberin denklemi denir.Örnek: Bir merkezil çember üzerinde, herhangi bir nokta A(-3,4) ise, bu çemberin denklemini bulunuz.Çözüm:Merkezil çemberin denklemi, x2+y2=r2 olduğundan, a(-3,4) noktası bu denklemi sağlar. Buna göre,x=-3 ve y=4 = (-3)2+42=r29+16 = r2 = r=5 bulunur. Öyleyse, aradığımız denklem x2+y2 = 25 bulunur.Merkezleri Eksenler Üzerinde veya Eksenlere Teğet Çemberlerin Denklemleri1- Merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin denklemi: a = 0 ve b = 0 dır.M(0,b) = (x-a)2 + y2 = r2 olur.2- Merkezi y ekseni üzerinde olan çemberin denklemi:a = 0 ve b = 0 dır.M(0,b) = x2 + (y-b)2 = r2 olur.3- x eksenine teğet olan çemberin denklemi:|b| = r ise M(a,r)(x-a) 2+ (y-r)2 = r2 olur.yM(a,r)O a x4- y eksenine teğet olan çemberin denklemi;|a| = r ise, M(r,b)(x-r)2 + (y-b)2 = r2 olur.yb ----------M(r,b)x5- Her iki eksene teğet çemberin denklemi:Eksenlere I. ve III. bölgede teğet çemberlerin merkezleri, y=x denklemi ile verilen doğru (I. Açıortay) üzerinde;turkeyarena.net eksenlere II. ve IV. bölgede teğet çemberlerin merkezleri de denklemi y=-x olan doğru (II. açıortay ) üzerinde bulunur. y y y=xM1 M2O x O xM3 M4y=-xM1 (r,r) = (x-r)2 + (y-r)2 = r2 M2 (-r,r) = (x+r)2 + (y-r)2 = r2M3 (-r,-r) = (x+r)2 + (y+r)2 = r2 M4 (r,-r) = (x-r)2 + (y+r)2 = r2Çemberin Analitik İncelenmesi Kuralları Özellikleri Formülleri * M(a,b) çemberin merkezi ve r de çemberin yarıçapı olma üzere (x-a)²+(y-b)²= r²Örneğin; M(2,3) ve yarıçapı r=4 birim olan çember denklemi (x-2)²+(y-3)²= 4²* Merkezi sıfır olan ve yarıçarpı r olan çember denklemi x²+y²= r² dir.* Genel çember denklemi (x-a)²+(y-b)²= r² açılımından gelenx² + y² + D.x + E.y + F = 0 dir.* x² + y² + D.x + E.y + F = 0 genel denklemi ile verilen çemberin merkez koodinatlarıM(a,b) ise a=-D/2 ve b= -E/2 dir ve yarıçap r= (1/2). √(D²+E²-4F)*D²+E²-4F > 0 ise gerçel çemberD²+E²-4F =0 ise nokta çemberD²+E²-4F < 0 ise sanal çemberdir* (x1,y1) noktasının x² + y² + D.x + E.y + F = 0 çemberine göre kuvveti p=x1² + y1² + D.x1 + E.y1 + F ve bu noktadan çembere çizilen teğetin uzunluğu t=√p dir.* x²+y²= r² çemberi üzerindeki (x1,y1) noktasından çizilen teğetin denklemi x.x1+y.y1= r²* (x-a)²+(y-b)²= r² çemberi üzerindki (x1,y1) noktsından çizilen teğetin denklemi (x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)= r²* x² + y² + D.x + E.y + F = 0 çemberi üzerindeki (x1,y1) noktasından çizilen teğetin denklemi x.x1 + y.y1+ (D/2).(x+x1 ) + (E/2).(y+y1) + F = 0 . (x1,y1) noktası çember dışında ise bulunan denklemler değme kirişinin denklemidir.